Voici une application de l'atelier FEM de FreeCAD: une poutre en I soutenue aux deux extrémités est soumise à son poids ainsi qu'à une charge au centre de 1000 kg.
Les poutres considérées ici ont toutes une longueur L de 5 M mais divers profils: IPE100, IPE200 ou IPE400 (cette nomenclature européenne contient la hauteur H de la poutre, en mm; trois autres paramètres géométriques sont nécessaire pour définir un profil IPE).
Le modèle analytique classique de la flexion pure, basé sur une longueur L suffisamment grande devant la hauteur H, est décrit dans cet article Wikipédia, dont est extraite la figure suivante:
Vous pouvez aussi télécharger ici un résumé des formules utilisées dans ce rapport ainsi que leur codage dans un tableur Calc (contenant aussi les résultats discutés plus loin).
L'atelier FEM de FreeCAD peut mettre en œuvre divers mailleurs et modèles aux éléments finis. La combinaison utilisée ici est Gmsh pour le maillage et CalculiX pour le calcul de structure (en mode statique/linéaire).
Avant de comparer les deux modèles (théorie des poutres vs. FreeCAD/Gsmh/CalculiX), voici les maillages Gsmh utilisés pour les trois poutres considérées (angle de vue et niveau de zoom identiques):
Le travail avec FreeCAD a consisté à modéliser un profil IPE (ateliers PartDesign et Sketcher) puis à faciliter sa modification grâce à l'atelier Spreadsheet (basé sur la modélisation paramétrique, un atout de FreeCAD). Par contre pour cet exercice nous n'avons pas automatisé les calculs avec Python, ni pris le temps de visualiser les résultats avec ParaView (autant de possibilités offertes par FreeCAD).
Considérons d'abord la déformation de la poutre IPE100, ici exagérée 10 fois:
La flèche dépasse 7,6 cm et la contrainte $\sigma_{xxMax}$ (voir le formulaire) atteint 380 MPa (en rouge), ce qui est supérieur à la limite élastique $235 \text{ MPa} \leq R_e \le 355 \text{ MPa}$ d'un acier d'usage général (S235 à S355): une poutre IPE100 de 5 m ne peut donc pas supporter la masse de 1000 kg. Par contre les profils IPE200 et IPE400 tiennent bon selon ce critère: voir le code couleur dans le tableur Calc.
Le tableau suivant montre que les modèles analytique et numérique sont en très bon accord, même dans le cas IPE 100: en effet ces deux modèles fournissent une solution élastique linéaire1, même si elle n'est pas appropriée.
| flèche (max) | $\sigma_{xxMax}$ (MPa) | |||||
| IPE | analytique (mm) | numérique (mm) | écart (%) | analytique (Mpa) | numérique (MPa) | écart (%) |
| 100 | 76.3 | 76,7 | -0.5 | 383 | 384 | -0.2 |
| 200 | 7.03 | 7.21 | -2.5 | 70.0 | 69.9 | 0.2 |
| 400 | 0.667 | 0.764 | -12.7 | 13.0 | 13.0 | 0.0 |
La principale différence provient de l'hypothèse H/L<<1 du modèle analytique, et l'on constate en effet que l'accord devient moins bon lorsque la section augmente. Par contre l'accord sur $\sigma_{xxMax}$ est remarquable (et dépend peu de H/L !).
En conclusion cet exercice nous a permis de tester le bon fonctionnement des outils de modélisation proposés par FreeCAD, dans une configuration que l'on peut valider avec le modèle analytique. Mais évidemment la solution numérique, quoique linéaire (domaine élastique), n'est pas restreinte aux cas H/L<<1.
- Choisir une analyse en déformation dans FreeCAD/CalculiX n'a pas modifié significativement les résultats... et nous n'avons pas cherché plus loin dans cette direction.↑